n-te Wurzel
Voraussetzung: Quadratwurzel
Die n-te Wurzel kehrt das Potenzieren mit \(n\) um. Zu einer Zahl \(x\) fragst du: Welche Zahl mit \(n\) Faktoren ergibt \(x\)? Die Quadratwurzel ist der Sonderfall \(n=2\), den du ohne Index schreibst. Du brauchst die n-te Wurzel bei Wachstumsraten, bei Potenzen mit Bruchexponenten und bei Gleichungen. Voraussetzung sind die Quadratwurzel und die Potenz.
Für \(x\ge 0\) und eine natürliche Zahl \(n\ge 1\) gibt es genau eine Zahl \(y\ge 0\) mit \(y^n=x\). Diese Zahl heißt n-te Wurzel von \(x\) und wird \(\sqrt[n]{x}\) geschrieben. Der Index \(n\) steht klein vor dem Wurzelzeichen. Er sagt, wie viele Faktoren \(y\) das Produkt hat, nicht, wie oft du teilst.
Für welche Zahlen die Wurzel erklärt ist
In diesem Kurs ziehst du Wurzeln nur aus Zahlen \(x\ge 0\). Das erleichtert die Regeln, weil dann immer genau ein nicht negatives Ergebnis da ist. Ein Ausdruck wie \(\sqrt[3]{-8}\) ist hier nicht erklärt, auch wenn \((-2)^3=-8\) gilt.
Die Wurzel ist multiplikativ, nicht additiv
\(\sqrt[n]{x\cdot y}=\sqrt[n]{x}\cdot\sqrt[n]{y}\). Damit führst du die Wurzel aus einer großen Zahl auf Wurzeln aus kleineren zurück. \(\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{8\cdot 27}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot 3=6\). Aber \(\sqrt[n]{x+y}\) ist nicht \(\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}\). Das zeigt \(\sqrt{16+9}=5\), während \(\sqrt{16}+\sqrt{9}=7\) ist.
Wurzel und Potenz
Die Wurzel verträgt sich mit der Potenz: \(\sqrt[n]{x^p}=(\sqrt[n]{x})^p\). Das nutzt du, wenn du kleine Zahlen rechnen willst. \(\sqrt[3]{64^2}=(\sqrt[3]{64})^2=4^2=16\). Die n-te Wurzel von \(x^n\) ist \(x\), solange \(x\ge 0\) gilt.