Quadratwurzel
Voraussetzung: Potenz, Basis, Exponent
Die Quadratwurzel kehrt das Quadrieren um. Zu einer Zahl \(x\) fragst du: Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(x\)? Du brauchst sie bei quadratischen Gleichungen, bei Abständen und bei Streuungsmaßen. Voraussetzung sind Potenzen mit positivem Exponenten, vor allem das Quadrat \(y^2=y\cdot y\).
Für jede Zahl \(x\ge 0\) gibt es genau eine Zahl \(y\ge 0\) mit \(y^2=x\). Diese Zahl heißt Quadratwurzel von \(x\) und wird \(\sqrt{x}\) geschrieben. Das Wichtige steckt in dem „genau eine“ und dem „\(\ge 0\)“: Die Quadratwurzel ist nie negativ.
Nur für Zahlen ab null
Aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen. \(\sqrt{-8}\) gibt es nicht, denn kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ. Zwar ist \((-8)\cdot(-8)=64\), aber das Quadrat von \(-8\) ist \(64\), nicht \(-8\). Wer \(\sqrt{-8}\) schreibt, hat einen Fehler gemacht.
Die Wurzel ist nicht additiv
Aus einer Summe unter der Wurzel lässt sich nicht jede Wurzel einzeln ziehen. \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), aber \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\). Die Wurzel ist multiplikativ, \(\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\), aber nicht additiv. Rechne also zuerst die Summe unter der Wurzel aus.
Wurzel aus einem Quadrat
\(\sqrt{(-3)^2}\) rechnest du von innen nach außen. Das Quadrat \((-3)^2\) ist \(9\), und \(\sqrt{9}=3\). Das Ergebnis ist der Betrag von \(-3\), also \(3\) und nicht \(-3\). Allgemein gilt \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Wurzel und Gleichung
Die Gleichung \(y^2=25\) hat zwei Lösungen, \(y=5\) und \(y=-5\). Die Wurzel ist aber nur eine davon: \(\sqrt{25}=5\). Das \(\pm\) kommt aus der Gleichung, nicht aus der Wurzel. Auf diesen Unterschied kommt es in der Klausur bei quadratischen Gleichungen an.