Rationaler Exponent
Voraussetzung: n-te Wurzel
Ein Bruch im Exponenten verbindet Wurzel und Potenz in einer Schreibweise. Er erlaubt es, Wurzeln wie Potenzen zu behandeln, mit denselben Gesetzen. Das brauchst du beim Ableiten von Wurzelfunktionen und in der Ökonomie bei Produktionsfunktionen. Voraussetzung sind die n-te Wurzel und die Potenzgesetze.
Für eine Basis \(b>0\) und einen Bruch \(\frac{p}{q}\) mit \(p,q\) ganz und \(q\ge 1\) ist
\[ b^{p/q}=\left(\sqrt[q]{b}\right)^{p}. \]
Der Nenner \(q\) ist der Index der Wurzel, der Zähler \(p\) die Potenz danach. Der Bruch im Exponenten teilt nichts und wird nicht mit der Basis multipliziert.
Reihenfolge der Rechnung
Du darfst zuerst die Potenz und danach die Wurzel rechnen oder umgekehrt, das Ergebnis ist gleich: \(\left(\sqrt[q]{b}\right)^p=\sqrt[q]{b^p}\). Praktisch ist es fast immer besser, zuerst die Wurzel zu ziehen, weil du dann mit kleinen Zahlen arbeitest. Bei \(64^{2/3}\) rechnest du \(\sqrt[3]{64}=4\) und \(4^2=16\), statt \(64^2=4096\) zu bilden und die dritte Wurzel zu ziehen.
Negativer Exponent
Das Minus im Exponenten bildet auch beim Bruch den Kehrwert: \(b^{-p/q}=\frac{1}{b^{p/q}}\). So ist \(125^{-2/3}=\frac{1}{125^{2/3}}\) und \(125^{2/3}\) rechnest du wie eben: \(\sqrt[3]{125}=5\) und \(5^2=25\). Das Minus macht die Zahl nicht negativ.