Art des Punktes
Voraussetzung: Stationäre Punkte
An einem stationären Punkt sind beide partiellen Ableitungen null. Ob dort die Kosten minimal, der Gewinn maximal oder gar nichts von beidem ist, entscheidet die Hesse-Matrix. Bei einer Variablen entscheidet das Vorzeichen von \(f''\): Positiv heißt Tiefpunkt, negativ Hochpunkt. Man könnte versuchen, bei zwei Variablen nur \(f_{xx}\) anzusehen. Das reicht nicht: Ein Punkt kann in \(x\)-Richtung ein Minimum und in \(y\)-Richtung ein Maximum sein, und dann ist er weder das eine noch das andere.
Drei Flächen zeigen die möglichen Fälle. \(f=x^2+y^2\) ist eine Mulde mit einem Minimum im Nullpunkt, \(f_{xx}=2\) und \(f_{yy}=2\) sind beide positiv. \(f=-x^2-y^2\) ist ein Berg mit einem Maximum, beide zweiten Ableitungen sind negativ. \(f=x^2-y^2\) ist ein Sattel: In \(x\)-Richtung geht es hinauf, in \(y\)-Richtung hinunter, \(f_{xx}=2\) und \(f_{yy}=-2\) haben verschiedene Vorzeichen. Bei den ersten beiden ist \(f_{xx}f_{yy}\) positiv, beim Sattel negativ. Das Produkt der Diagonale zeigt also, ob die beiden Richtungen gleichartig sind.
Dazu kommt der gemischte Eintrag \(f_{xy}\). Er kann die Fläche so kippen, dass trotz positiver \(f_{xx}\) und \(f_{yy}\) ein Sattel entsteht. Darum betrachtet man die ganze Ist die Determinante der Hesse-Matrix negativ, liegt ein Sattelpunkt vor. Ist sie positiv, entscheidet das Vorzeichen von fxx über Minimum oder Maximum. Dazu: Art des Punktes,
\[ \det H_f=f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2. \]
Das Kriterium lautet: Ist \(\det H_f\gt 0\), liegt ein Extremum vor. Dann entscheidet das Vorzeichen von \(f_{xx}\): Bei \(f_{xx}\gt 0\) ist es ein Minimum, bei \(f_{xx}\lt 0\) ein Maximum. Ist \(\det H_f\lt 0\), liegt ein Sattelpunkt vor. Ist \(\det H_f=0\), sagt der Test nichts, der Punkt kann alles sein. Bei einem Extremum haben \(f_{xx}\) und \(f_{yy}\) dasselbe Vorzeichen, du darfst also \(f_{yy}\) statt \(f_{xx}\) nehmen.
| Bedingung | Art |
|---|---|
| \(\det H\gt 0\), \(f_{xx}\gt 0\) | Minimum |
| \(\det H\gt 0\), \(f_{xx}\lt 0\) | Maximum |
| \(\det H\lt 0\) | Sattelpunkt |
| \(\det H=0\) | keine Aussage |
Warum die Determinante entscheidet
Man kann \(f\) bei einem Extremum in der Nähe des Punktes durch eine quadratische Fläche ersetzen, deren Form die Hesse-Matrix bestimmt. Die Fläche hat in jeder Richtung dasselbe Vorzeichen der Krümmung, wenn die beiden Eigenschaften der Matrix, Determinante und \(f_{xx}\), zueinander passen. Bei negativer Determinante gibt es eine Richtung nach oben und eine nach unten, das ist der Sattel.
Determinante gleich null
Bei \(f(x,y)=x^4+y^2\) ist im Nullpunkt \(f_{xx}=0\), \(f_{yy}=2\) und \(f_{xy}=0\), also \(\det H=0\). Direkt sieht man, dass es ein Minimum ist, denn \(f\ge 0\). Bei \(g(x,y)=x^3+y^2\) ist die Determinante ebenfalls null, und der Nullpunkt ist kein Extremum. Der Test unterscheidet die beiden Fälle nicht.
Globales und lokales Extremum
Der Test zeigt, ob lokal ein Minimum oder Maximum vorliegt. Ob es auch der größte oder kleinste Wert der ganzen Funktion ist, ist eine andere Frage. Bei einer quadratischen Funktion mit \(\det H\gt 0\) gibt es nur einen stationären Punkt, und das lokale Extremum ist auch das globale.