Totales Differential
Voraussetzung: Partielle Ableitung
Oft ändern sich beide Eingangsgrößen zugleich. Ein Betrieb stellt mehr Arbeit ein und kauft etwas mehr Material, und er will wissen, wie sich der Output ungefähr ändert, ohne die Funktion an der neuen Stelle auszurechnen. Bei einer Variablen genügte dafür das Differential \(\Delta f\approx f'(x_0)\cdot\Delta x\). Man könnte versuchen, bei zwei Variablen nur eine der beiden Änderungen zu berücksichtigen. Das ist falsch: Jede Variable trägt etwas zur Änderung bei, und beide Beiträge addieren sich.
Der Gedanke ist einfach. Ändert sich nur \(x\) um \(\Delta x\), ändert sich \(f\) um etwa \(f_x\cdot\Delta x\), denn \(f_x\) ist die Steigung in \(x\)-Richtung. Ändert sich nur \(y\) um \(\Delta y\), ändert sich \(f\) um etwa \(f_y\cdot\Delta y\). Ändern sich beide, addierst du die Beiträge. Das ist das totale Differential,
\[ df=f_x(x_0,y_0)\cdot\Delta x+f_y(x_0,y_0)\cdot\Delta y. \]
Beide partiellen Ableitungen werden an der Ausgangsstelle \((x_0,y_0)\) ausgewertet. Die Änderung ist immer neuer Wert minus alter Wert: Sinkt eine Variable, ist ihr \(\Delta\) negativ. Das Vorzeichen zeigt dann die Richtung, und ein negatives Differential heißt, dass \(f\) sinkt.
Aus dem Differential folgt der Näherungswert für den neuen Funktionswert:
\[ f(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+df. \]
Das entspricht der Tangentialebene an der Fläche, so wie bei einer Variablen die Tangente an die Kurve.
Tangentialebene
Die Näherung \(f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x\cdot(x-x_0)+f_y\cdot(y-y_0)\) ist die Gleichung einer Ebene, die die Fläche im Punkt \((x_0,y_0)\) berührt. Bei einer Variablen ist es die Tangente. Je näher \((x,y)\) an \((x_0,y_0)\) liegt, desto besser stimmen Ebene und Fläche überein.
Prozentänderungen
Oft sind die Änderungen in Prozent gegeben. Steigt \(x\) um \(2\,\%\), ist \(\Delta x=0{,}02\cdot x_0\). Teilst du das Differential durch \(f(x_0,y_0)\), erhältst du die relative Änderung von \(f\). Daraus entsteht die partielle Elastizität, die auf der nächsten Karte folgt.
Eine Variable als Spezialfall
Ändert sich nur \(x\), ist \(\Delta y=0\), und das totale Differential wird \(df=f_x\cdot\Delta x\). Das ist das Differential der Funktion \(g(x)=f(x,y_0)\) einer Veränderlichen, das du schon kennst.