Totales Differential
Stand: noch offen
Totales Differential
Grundregel. Totales Differential \(df=f_x\cdot\Delta x+f_y\cdot\Delta y\), Ableitungen an der Ausgangsstelle, \(\Delta\) gleich neu minus alt. Näherungswert \(f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+df\). Gut bei kleinen Änderungen.
Beispiel
\(f(x,y)=x^2+3xy\) von \((2,1)\) nach \((2{,}2;\,1{,}1)\): \(df=7\cdot 0{,}2+6\cdot 0{,}1=2\), genau \(2{,}1\).
Fälle
Sinkt eine Variable, ist ihr \(\Delta\) negativ. Zu \(f_x\) gehört \(\Delta x\). Das Differential ist die Änderung, nicht der neue Wert.
Achtung
Beide Beiträge addieren. Mit den Änderungen multiplizieren. Vorzeichen beachten.
Mein Merksatz
Wie bestimmst du die Änderung von \(f\) bei zwei Änderungen?
Beispiel ansehen
\(df=f_x\cdot\Delta x+f_y\cdot\Delta y\). Für \(x^2+3xy\) am Punkt \((2,1)\) mit \(\Delta x=0{,}2\), \(\Delta y=0{,}1\) ist \(df=2\).
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Vertiefen
Vertiefen gibt es nach Verstehen und Ausprobieren.
Löse eine Aufgabe auf Warm-up, um Standard freizuschalten.
Geschafft: Totales Differential
Du hast eine Aufgabe auf Klausurniveau gelöst und kannst dieses Thema. Weitere Aufgaben dazu bleiben freiwillig.
Du kannst einen Bruch darstellen und mit 1 vergleichen.
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Die erste richtige Aufgabe auf Warm-up gibt die Bronze-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Standard frei. Die erste richtige auf Standard gibt die Silber-Medaille für diese Fertigkeit und schaltet Klausur frei. Die erste richtige auf Klausur gibt die Gold-Medaille für diese Fertigkeit, die Fertigkeit ist geübt. Die zweite richtige Klausuraufgabe, eine andere als die erste, macht die Gold-Medaille sicher.
Eine Aufgabe, die du sofort richtig löst, zählt voll. Korrigierst du dieselbe Aufgabe, bevor die Lösung dasteht, zählt sie voll. Steht die Lösung schon da, zählt eine ähnliche Aufgabe halb. Zwei solche Aufgaben heben die Stufe genauso wie eine sofort richtige.