Partielle Elastizität
Voraussetzung: Partielle Ableitung
Hilft vorher: Elastizität
Die partielle Ableitung \(f_x\) sagt, um wie viele Einheiten sich \(f\) ändert, wenn \(x\) um eine Einheit wächst. Ob diese Änderung groß ist, hängt vom Maßstab ab: Eine Einheit mehr ist bei \(x=10\) viel und bei \(x=10\,000\) wenig. Man könnte versuchen, \(f_x\) mit einer anderen Funktion zu vergleichen. Das ist falsch, wenn die Größen verschiedene Einheiten haben. Die partielle Elastizität löst das Problem mit Prozenten: Sie sagt, um wie viel Prozent sich \(f\) ändert, wenn \(x\) um \(1\,\%\) wächst und \(y\) gleich bleibt.
Der Gedanke kommt von der Elastizität einer Veränderlichen, die du kennst. Hältst du \(y\) fest, ist \(g(x)=f(x,y)\) eine Funktion von \(x\) allein, mit der Ableitung \(f_x\). Ihre Elastizität ist Ableitung mal \(\frac{x}{g(x)}\). Daraus folgt die partielle Elastizität in \(x\)-Richtung,
\[ \varepsilon_x(x,y)=f_x(x,y)\cdot\frac{x}{f(x,y)}. \]
Die Deutung ist dieselbe wie bei einer Variablen. Die Zahl \(\varepsilon_x\) sagt: Steigt \(x\) um \(1\,\%\) und bleibt \(y\) gleich, ändert sich \(f\) näherungsweise um \(\varepsilon_x\,\%\). Bei \(\varepsilon_x=2\) wächst \(f\) um etwa \(2\,\%\), bei \(\varepsilon_x=-0{,}5\) sinkt \(f\) um etwa \(0{,}5\,\%\). Steigt \(x\) um \(q\,\%\), sind es etwa \(q\cdot\varepsilon_x\,\%\). Wie bei einer Variablen heißt \(f\) elastisch bezüglich \(x\), wenn \(|\varepsilon_x|\gt 1\) gilt, und unelastisch, wenn \(|\varepsilon_x|\lt 1\) gilt.
In \(y\)-Richtung gilt dasselbe mit den passenden Größen:
\[ \varepsilon_y(x,y)=f_y(x,y)\cdot\frac{y}{f(x,y)}. \]
Die Ableitung und die Variable gehören immer zur selben Richtung: \(f_x\) mit \(x\), \(f_y\) mit \(y\). Für die Elastizität brauchst du also vier Zahlen an der Stelle: \(f\), die Ableitung und die Variable.
Ein wichtiger Spezialfall ist die Cobb-Douglas-Funktion \(f(x,y)=a\,x^m y^n\). Hier ist \(f_x=a\,m\,x^{m-1}y^n\), und beim Einsetzen kürzen sich fast alle Faktoren: \(\varepsilon_x=m\) und \(\varepsilon_y=n\). Die Elastizitäten sind die Exponenten, bei jedem Punkt gleich.
Skalenelastizität
Steigen \(x\) und \(y\) beide um \(1\,\%\), ändert sich \(f\) um etwa \(\varepsilon_x+\varepsilon_y\) Prozent. Diese Summe heißt Skalenelastizität. Bei \(f=a\,x^my^n\) ist sie \(m+n\). Ist sie größer als \(1\), wächst der Output stärker als der Einsatz (steigende Skalenerträge), ist sie kleiner als \(1\), schwächer.
Zusammenhang mit dem Differential
Aus dem totalen Differential folgt die relative Änderung \(\frac{df}{f}=\varepsilon_x\cdot\frac{dx}{x}+\varepsilon_y\cdot\frac{dy}{y}\). Die relative Änderung von \(f\) ist die Summe der Elastizitäten mal den relativen Änderungen der Variablen.
Kreuzpreiselastizität
Hängt die Nachfrage \(x_1\) nach einem Gut vom Preis \(p_2\) eines anderen Gutes ab, heißt die partielle Elastizität nach \(p_2\) Kreuzpreiselastizität. Ist sie positiv, sind die Güter Substitute, ist sie negativ, sind sie Komplemente. Sie wird wie \(\varepsilon_y\) berechnet.