Gewinnmaximum bei zwei Gütern
Voraussetzung: Art des Punktes
Ein Betrieb, der zwei Güter herstellt, muss beide Mengen gemeinsam wählen. Der Gewinn hängt von beiden ab, und die höchste Stelle der Gewinnfläche liefert die beste Kombination. Du lernst, wie du sie mit den partiellen Ableitungen findest und prüfst, ob sie wirklich ein Maximum ist. Voraussetzung sind die partiellen Ableitungen und die Hesse-Matrix.
Der Gewinn bei den Mengen \(x\) und \(y\) ist Erlös minus Kosten, \(G(x,y)=p_1x+p_2y-K(x,y)\) mit den Preisen \(p_1\) und \(p_2\). Zum Maximieren gehst du in zwei Schritten vor:
- Notwendige Bedingung: Setze beide partiellen Ableitungen gleich null, \(G_x=0\) und \(G_y=0\), und löse das Gleichungssystem. Die Lösung \((x^*,\,y^*)\) ist ein Kandidat. In einem Maximum ist die Fläche waagerecht.
- Hinreichende Bedingung: Bilde die Hesse-Matrix \(H=\begin{pmatrix}G_{xx}&G_{xy}\\G_{xy}&G_{yy}\end{pmatrix}\). Gilt \(G_{xx}\lt 0\) und \(\det H\gt 0\), ist es ein Maximum. Bei \(G_{xx}\gt 0\) und \(\det H\gt 0\) ein Minimum, bei \(\det H\lt 0\) ein Sattelpunkt.
Der Gewinn im Maximum folgt durch Einsetzen von \(x^*\) und \(y^*\) in \(G\). Achte auf die Konstante und das Vorzeichen der Quadratterme.
Die Ableitungen sind \(G_x=-2x+12\) und \(G_y=-4y+16\). Aus \(G_x=0\) folgt \(x^*=6\), aus \(G_y=0\) folgt \(y^*=4\). Die zweiten Ableitungen sind \(G_{xx}=-2\), \(G_{yy}=-4\), \(G_{xy}=0\). Es ist \(G_{xx}\lt 0\) und \(\det H=(-2)(-4)-0=8\gt 0\), also ein Maximum. Der größte Gewinn ist \(G(6,4)=-36-32+72+64-30=38\).
Ein zweites Beispiel, mit gemischtem Term
Hat die Gewinnfunktion einen Term \(-xy\), wie \(G(x,y)=-x^2-y^2-xy+9x+9y\), hängen die Ableitungen zusammen: \(G_x=-2x-y+9=0\) und \(G_y=-2y-x+9=0\). Aus beiden folgt durch Gleichsetzen \(x=y\), und damit \(-3x+9=0\), also \(x^*=y^*=3\). Hier muss das Gleichungssystem gelöst werden, die Gleichungen sind nicht mehr einzeln auflösbar.
Nebenbedingung
Ist die Kapazität begrenzt, etwa \(x+y\le 8\), reicht das Nullsetzen der Ableitungen nicht. Der Kandidat muss die Bedingung erfüllen, sonst liegt das Maximum auf dem Rand. Diesen Fall behandeln die Fertigkeiten zu den Nebenbedingungen.