Die Hesse-Matrix sammelt die zweiten partiellen Ableitungen. Auf der Diagonale stehen die reinen zweiten Ableitungen, daneben die gemischte. Dazu: Hesse-Matrix
Voraussetzung: Partielle Ableitung
Hilft vorher: Determinante einer 2x2-Matrix
Bei einer Variablen entscheidet die zweite Ableitung, ob ein Punkt mit \(f'(x_0)=0\) ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist. Bei zwei Variablen gibt es mehr zweite Ableitungen, und alle zusammen übernehmen diese Rolle. Man könnte versuchen, nur \(f_{xx}\) zu betrachten. Das reicht nicht: Ein Punkt kann in \(x\)-Richtung wie ein Tiefpunkt und in \(y\)-Richtung wie ein Hochpunkt aussehen. Erst das Zusammenspiel aller zweiten Ableitungen zeigt die Art des Punktes.
Die partiellen Ableitungen sind selbst wieder Funktionen von \(x\) und \(y\), du kannst sie also noch einmal ableiten. Es gibt vier zweite partielle Ableitungen. Nach \(x\) und noch einmal nach \(x\) gibt \(f_{xx}\), nach \(y\) und noch einmal nach \(y\) gibt \(f_{yy}\). Die beiden gemischten sind \(f_{xy}\) (erst nach \(x\), dann nach \(y\)) und \(f_{yx}\) (erst nach \(y\), dann nach \(x\)). Du schreibst sie in der Hesse-Matrix zusammen,
\[ H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}. \]
Die Hesse-Matrix hängt von \(x\) und \(y\) ab. Für eine Aussage über einen Punkt setzt du seine Koordinaten ein. Dass die Matrix kaum Arbeit macht, liegt am Satz von Schwarz: Ist \(f\) zweimal stetig differenzierbar, gilt \(f_{xy}=f_{yx}\). Die Reihenfolge der gemischten Ableitung spielt keine Rolle. Du rechnest nur eine der beiden aus, und die Matrix ist symmetrisch.
Aus der Hesse-Matrix entsteht eine einzige Zahl, die Determinante. Mit der Formel der \(2\times 2\)-Matrix und \(f_{xy}=f_{yx}\) folgt
\[ \det H_f=f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2. \]
Diese Zahl entscheidet später, ob ein kritischer Punkt ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt ist.
Bezeichnung der gemischten Ableitung
Die Schreibweise der Indizes ist nicht einheitlich: Bei \(f_{xy}\) wird erst nach \(x\) und dann nach \(y\) abgeleitet, in manchen Büchern umgekehrt. Weil nach dem Satz von Schwarz beide gleich sind, spielt das für die Rechnung keine Rolle. Du schreibst \(\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}\), wenn du die Reihenfolge sichtbar machen willst.
Wann gilt der Satz von Schwarz?
Er gilt, wenn die zweiten Ableitungen stetig sind. Das ist bei allen Funktionen der Klausur der Fall: Polynome, Potenzen, \(e^x\), \(\ln\) und ihre Verknüpfungen. Es gibt künstliche Funktionen, bei denen \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\) verschieden sind, sie kommen in der Praxis nicht vor.
Vergleich mit einer Variablen
Für \(g(x)\) hat die Hesse-Matrix nur einen Eintrag, \(g''(x)\). Sein Vorzeichen entscheidet über Hoch- und Tiefpunkt. Bei zwei Variablen entscheiden die Determinante und das Vorzeichen von \(f_{xx}\) gemeinsam.