Homogenitätsgrad
Voraussetzung: Niveaulinie (Höhenlinie)
Wie reagiert eine Funktion von zwei Größen, wenn man beide gleichzeitig mit demselben Faktor vergrößert? Bei einer Produktionsfunktion ist das die Frage nach den Skalenerträgen: Was passiert mit dem Ertrag, wenn Arbeit und Kapital verdoppelt werden? Der Homogenitätsgrad beantwortet sie mit einer einzigen Zahl. Voraussetzung ist der Funktionswert einer Funktion von zwei Variablen und das Rechnen mit Potenzen.
Eine Funktion \(f(x,y)\) heißt homogen vom Grad \(r\), wenn für alle \(\lambda\gt 0\) gilt
\[ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^r\,f(x,y). \]
Zum Bestimmen von \(r\) ersetzt du \(x\) durch \(\lambda x\) und \(y\) durch \(\lambda y\), fasst die Potenzen von \(\lambda\) zusammen und liest den Exponenten ab. Für \(f(x,y)=x^ay^b\) ergibt das \(\lambda^a\lambda^b=\lambda^{a+b}\), der Grad ist \(r=a+b\).
Eine Summe von Termen ist nur homogen, wenn alle Terme denselben Grad haben. Dann ist dieser gemeinsame Grad der Grad der Summe. Hat ein Term den Grad 2 und ein anderer den Grad 1, lässt sich keine einheitliche Potenz von \(\lambda\) herausziehen, und die Funktion ist nicht homogen. Eine Konstante hat den Grad 0.
Der erste Term hat den Grad \(2+1=3\), der zweite \(1+2=3\). Beide stimmen überein. Nachgerechnet:
\[ \begin{aligned} f(\lambda x,\lambda y)&=\lambda^3x^2y+\lambda^3xy^2\\ &=\lambda^3f(x,y). \end{aligned} \]
Die Funktion ist homogen vom Grad \(3\).
Skalenerträge
Ist eine Produktionsfunktion homogen vom Grad \(r\), und werden alle Einsatzmengen mit \(\lambda\) multipliziert, steigt der Ertrag um den Faktor \(\lambda^r\). Bei \(r\gt 1\) steigt er stärker als die Einsätze (steigende Skalenerträge), bei \(r=1\) im gleichen Maß (konstante), bei \(r\lt 1\) schwächer (fallende). Für die Cobb-Douglas-Funktion \(f(x,y)=x^{0{,}3}y^{0{,}5}\) ist \(r=0{,}8\lt 1\).
Ein Wert wird übertragen
Ist \(f\) homogen vom Grad \(3\) und \(f(1,2)=5\), dann ist \(f(3,6)=3^3\cdot 5=135\), denn \((3,6)=3\cdot(1,2)\). Es genügt, einen Wert zu kennen, wenn die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.