Kreuzpreiselastizität
Voraussetzung: Partielle Elastizität
Die Nachfrage nach einem Gut hängt nicht nur von seinem eigenen Preis ab, sondern auch vom Preis anderer Güter. Wird Margarine teurer, kaufen manche Butter. Wird Benzin teurer, werden weniger Autos gekauft. Die Kreuzpreiselastizität misst diesen Zusammenhang in Prozent und sagt, ob die Güter Ersatz füreinander sind oder zusammengehören. Voraussetzung sind die partielle Ableitung und die partielle Elastizität.
Hängt die Nachfrage \(x\) nach Gut 1 von den Preisen \(p_1\) und \(p_2\) ab, ist die Kreuzpreiselastizität bezüglich \(p_2\)
\[ \varepsilon_{x,p_2}=\frac{\partial x}{\partial p_2}\cdot\frac{p_2}{x}. \]
Sie misst die Reaktion der Nachfrage nach Gut 1 auf den Preis von Gut 2 in Prozent: Steigt \(p_2\) um \(1\,\%\), ändert sich \(x\) um etwa \(\varepsilon\) Prozent. Die Eigenpreiselastizität bezüglich \(p_1\) ist die entsprechende Größe mit \(\frac{\partial x}{\partial p_1}\cdot\frac{p_1}{x}\).
Das Vorzeichen zeigt die Art der Beziehung:
- \(\varepsilon\gt 0\): Substitute. Wird Gut 2 teurer, steigt die Nachfrage nach Gut 1 (Butter und Margarine).
- \(\varepsilon\lt 0\): Komplemente. Wird Gut 2 teurer, sinkt die Nachfrage nach Gut 1 (Auto und Benzin).
- \(\varepsilon=0\): Die Nachfrage nach Gut 1 hängt nicht vom Preis von Gut 2 ab.
Die Nachfrage ist \(x=30-12+12=30\). Die partielle Ableitung nach \(p_2\) ist \(3\). Es folgt \(\varepsilon=3\cdot\frac{4}{30}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Das Vorzeichen ist positiv, also sind es Substitute: Steigt \(p_2\) um 1 Prozent, steigt die Nachfrage nach Gut 1 um etwa \(0{,}4\) Prozent.
Ein zweites Beispiel, Komplemente
Mit \(x(p_1,p_2)=50-p_1-2p_2\) an der Stelle \(p_1=10\), \(p_2=5\) ist \(x=50-10-10=30\). Die partielle Ableitung nach \(p_2\) ist \(-2\), also ist \(\varepsilon=-2\cdot\frac{5}{30}=-\frac13\). Das Vorzeichen ist negativ, die Güter sind Komplemente.
Prozentuale Änderung
Mit \(\varepsilon=-\frac13\) im zweiten Beispiel gilt: Steigt \(p_2\) um 6 Prozent, ändert sich die Nachfrage nach Gut 1 näherungsweise um \(-\frac13\cdot 6=-2\) Prozent, sie sinkt also um zwei Prozent. Die Näherung gilt für kleine Änderungen.