Stationäre Punkte (kritische Punkte)
Voraussetzung: Partielle Ableitung
Ein Betrieb will den größten Gewinn oder die geringsten Kosten, und beides hängt von zwei Größen ab. Bei einer Variablen suchst du die Stellen mit \(f'(x)=0\). Bei zwei Variablen sucht man die Punkte \((x_0,y_0)\), an denen die Fläche weder steigt noch fällt. Man könnte versuchen, nur eine Ableitung null zu setzen. Das reicht nicht: Ist nur \(f_x=0\), kann die Fläche in \(y\)-Richtung noch stark ansteigen.
Die Begründung folgt aus der Richtungssicht. Liegt in \((x_0,y_0)\) ein Extremum, hat auch jede Funktion einer Variablen, die entsteht, wenn du eine Variable festhältst, dort ein Extremum. Die Funktion \(g(x)=f(x,y_0)\) hat bei \(x_0\) ein Extremum, also gilt \(g'(x_0)=f_x(x_0,y_0)=0\). Ebenso hat \(h(y)=f(x_0,y)\) bei \(y_0\) ein Extremum, also gilt \(f_y(x_0,y_0)=0\). Das ist die notwendige Bedingung: Ein Extrempunkt erfüllt
\[ f_x(x_0,y_0)=0\quad\text{und}\quad f_y(x_0,y_0)=0. \]
Ein Punkt, der beides erfüllt, heißt stationärer Punkt (kritischer Punkt). Er ist ein Kandidat für ein Extremum. In der Sprache des Gradienten heißt das \(\operatorname{grad}f=(0,0)\).
So gehst du vor. Du bildest \(f_x\) und \(f_y\). Du setzt beide gleich null. Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten \(x\) und \(y\). Du löst es. Sind die Gleichungen getrennt, steht in \(f_x=0\) nur \(x\) und in \(f_y=0\) nur \(y\), und du löst jede für sich. Sind sie gekoppelt, enthält jede beide Variablen. Dann löst du eine Gleichung nach einer Variable auf, setzt in die andere ein und rechnest die zweite Koordinate aus. Eine Probe in beiden Gleichungen fängt Fehler.
Nicht jeder stationäre Punkt ist ein Extrempunkt. Es gibt Punkte, an denen beide Ableitungen null sind und die Fläche trotzdem in einer Richtung steigt und in einer anderen fällt, wie auf einem Pass zwischen zwei Gipfeln. Sie heißen Sattelpunkte. Ob Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt, entscheidet die Hesse-Matrix, das zeigt die nächste Karte.
Mehrere stationäre Punkte
Bei \(f_x=3x^2-12\) ist \(x=\pm 2\). Du erhältst für jede Lösung der einen Gleichung einen Punkt, wenn die andere eine Lösung \(y_0\) hat. Bei zwei Lösungen für \(x\) und einer für \(y\) sind es zwei Punkte \((2,y_0)\) und \((-2,y_0)\). Gibt es zu jeder Variable zwei Lösungen, sind es vier Kombinationen.
Randpunkte und Ecken
Die Bedingung \(f_x=f_y=0\) gilt für Extremstellen im Inneren des Definitionsbereichs, an denen \(f\) differenzierbar ist. Hat die Funktion eine Ecke, wie \(f(x,y)=|x|+|y|\) im Nullpunkt, kann dort ein Minimum liegen, obwohl keine partielle Ableitung existiert. Bei Funktionen der Klausur kommt das nicht vor.
Funktionswert am Punkt
Der Wert \(f(x_0,y_0)\) ist die Höhe des Punktes. Beim Beispiel ist \(f(2,4)=4-8+16-24=-12\). Die Höhe zeigt nicht, ob es ein Minimum oder ein Maximum ist, dafür brauchst du die Hesse-Matrix. Sie zeigt nur, was der Betrieb an diesem Punkt erzielt.