Lagrange-Verfahren
Voraussetzung: Nebenbedingung und Lagrange-Ansatz
Lässt sich die Nebenbedingung nicht bequem nach einer Variablen auflösen, oder soll die Rechnung ohne Brüche bleiben, nimmst du das Lagrange-Verfahren. Es ersetzt die Nebenbedingung durch eine dritte Unbekannte \(\lambda\) und führt auf ein Gleichungssystem. Für \(f(x,y)\) unter \(g(x,y)=c\) bildest du die Lagrange-Funktion
\[ \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\,\bigl(g(x,y)-c\bigr) \]
und setzt ihre drei partiellen Ableitungen null:
\[ \begin{aligned} \text{(I)}\quad & \mathcal{L}_x=f_x+\lambda\,g_x=0,\\ \text{(II)}\quad & \mathcal{L}_y=f_y+\lambda\,g_y=0,\\ \text{(III)}\quad & \mathcal{L}_\lambda=g(x,y)-c=0. \end{aligned} \]
Die Lösungen dieses Systems sind die Kandidaten für das Extremum unter der Nebenbedingung. Die Begründung steht auf der vorigen Karte: Am Extremum berühren sich die Niveaulinie von \(f\) und die Linie \(g=c\), also zeigen die beiden Gradienten in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtung.
So löst du das System. Die Gleichungen (I) und (II) enthalten \(x\), \(y\) und \(\lambda\). Du stellst jede so um, dass \(x\) beziehungsweise \(y\) allein steht, und erhältst \(x\) und \(y\) in Abhängigkeit von \(\lambda\). Dann setzt du beides in die Nebenbedingung (III) ein. Dort bleibt nur \(\lambda\) übrig, und du löst nach \(\lambda\). Mit dem Wert von \(\lambda\) rechnest du \(x\) und \(y\) aus. Zuletzt machst du die Probe in (III).
Ob der Punkt ein Minimum oder ein Maximum ist, entscheidet die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion. Sie hat drei Zeilen und drei Spalten. In der ersten Zeile und Spalte stehen die Ableitungen nach \(\lambda\), also \(\mathcal{L}_{\lambda\lambda}=0\), \(\mathcal{L}_{\lambda x}=g_x\) und \(\mathcal{L}_{\lambda y}=g_y\). Darunter folgen \(\mathcal{L}_{xx}\), \(\mathcal{L}_{xy}\) und \(\mathcal{L}_{yy}\):
\[ H_{\mathcal{L}}=\begin{pmatrix}0&g_x&g_y\\ g_x&\mathcal{L}_{xx}&\mathcal{L}_{xy}\\ g_y&\mathcal{L}_{xy}&\mathcal{L}_{yy}\end{pmatrix}. \]
Die Determinante rechnest du nach Sarrus: Du schreibst die ersten beiden Spalten rechts daneben, addierst die drei Produkte der Diagonalen von links oben nach rechts unten und ziehst die drei Produkte der Diagonalen von links unten nach rechts oben ab. Ist \(\det H_{\mathcal{L}}\gt 0\), liegt ein Maximum vor. Ist \(\det H_{\mathcal{L}}\lt 0\), liegt ein Minimum vor. Das ist umgekehrt zur Hesse-Matrix ohne Nebenbedingung, wo positiv das Minimum anzeigt. Bei \(\det H_{\mathcal{L}}=0\) sagt der Test nichts.
Im Beispiel ist \(\mathcal{L}_{xx}=2\), \(\mathcal{L}_{xy}=0\), \(\mathcal{L}_{yy}=4\) und \(g_x=g_y=1\):
\[ \begin{aligned} \det H_{\mathcal{L}}&=\det\begin{pmatrix}0&1&1\\ 1&2&0\\ 1&0&4\end{pmatrix}\\ &=0+0+0-(2+0+4)=-6\lt 0. \end{aligned} \]
Die Determinante ist negativ, also liegt bei \((8,4)\) ein Minimum vor.
Dasselbe Ergebnis durch Einsetzen
Im Beispiel führt auch das Einsetzen zum Ziel. Aus \(x+y=12\) folgt \(y=12-x\), also \(f(x)=x^2+2(12-x)^2=3x^2-48x+288\) mit \(f'(x)=6x-48\) und \(x=8\). Das ist dasselbe Ergebnis. Bei einer linearen Nebenbedingung sind beide Wege ähnlich lang. Das Lagrange-Verfahren wird kürzer, wenn das Einsetzen Brüche erzeugt, etwa bei \(f=x^2+y^2\) unter \(4x+y=17\), und es klappt auch, wenn die Nebenbedingung nicht linear ist.
Eine Nebenbedingung, die nicht linear ist
Die Summe \(f(x,y)=x+y\) soll unter \(xy=16\) für positive Zahlen minimal werden. Es ist \(\mathcal{L}=x+y+\lambda\,(xy-16)\), also (I) \(1+\lambda y=0\), (II) \(1+\lambda x=0\), (III) \(xy=16\). Aus (I) und (II) folgt \(x=y=-\frac{1}{\lambda}\). In (III): \(x^2=16\), also \(x=y=4\) und \(\lambda=-\frac{1}{4}\). Die Determinante ist \(\det\begin{pmatrix}0&y&x\\ y&0&\lambda\\ x&\lambda&0\end{pmatrix}=2xy\lambda=-8\lt 0\), also ein Minimum mit dem Wert \(8\).
Warum die Regel umgekehrt ist
Die Matrix \(H_{\mathcal{L}}\) enthält den Rand \(g_x\), \(g_y\). Sie prüft die Krümmung von \(\mathcal{L}\) nur entlang der erlaubten Linie, nicht in alle Richtungen der Ebene. Das ändert das Vorzeichen, das zum Minimum gehört. Du brauchst nur die Regel: Mit der \(3\times 3\)-Matrix heißt \(\det\lt 0\) Minimum und \(\det\gt 0\) Maximum.