Lagrange-Verfahren
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Lagrange-Verfahren
Grundregel. \(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\). (I) \(\mathcal{L}_x=0\), (II) \(\mathcal{L}_y=0\), (III) \(g=c\). Aus (I) und (II) \(x\) und \(y\) durch \(\lambda\) ausdrücken, in (III) einsetzen, \(\lambda\) lösen, dann \(x\) und \(y\). Art: \(3\times 3\)-Matrix mit \(\lambda\) in der ersten Zeile, \(\det\gt 0\) Maximum, \(\det\lt 0\) Minimum.
Beispiel
\(f=x^2+2y^2\) unter \(x+y=12\) hat \(\lambda=-16\), den Punkt \((8,4)\), \(\det H_{\mathcal{L}}=-6\lt 0\): Minimum mit Wert 96.
Fälle
Bei einer linearen Nebenbedingung führt auch das Einsetzen zum Ziel. Das Lagrange-Verfahren ist kürzer, wenn das Einsetzen Brüche erzeugt, und es geht auch bei nichtlinearen Nebenbedingungen.
Achtung
Der Faktor von \(x\) in \(g\) gehört in \(\mathcal{L}_x\). Die Vorzeichenregel der Determinante ist umgekehrt zur Hesse-Matrix ohne Nebenbedingung. Nach \(\lambda\) nicht aufhören, \(x\) und \(y\) ausrechnen.
Mein Merksatz
Wie löst du ein Extremum unter einer Nebenbedingung mit dem Lagrange-Verfahren?
Beispiel ansehen
\(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\). \(\mathcal{L}_x=0\), \(\mathcal{L}_y=0\), \(g=c\) lösen. \(\det H_{\mathcal{L}}\lt 0\): Minimum. \(\gt 0\): Maximum.
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