Lagrange-Multiplikator deuten
Voraussetzung: Lagrange-Verfahren
Beim Lagrange-Verfahren fällt \(\lambda\) als Nebenprodukt ab, und man könnte es nach der Rechnung vergessen. Das wäre schade, denn der Multiplikator beantwortet eine Frage, die im Betrieb oft wichtiger ist als der Optimalpunkt: Was bringt eine Einheit mehr von der knappen Ressource? Die Nebenbedingung \(g(x,y)=c\) legt fest, wie viel Kapital, Material oder Zeit zur Verfügung steht. Der größte erreichbare Wert von \(f\) hängt von \(c\) ab. Wir nennen ihn \(V(c)\). Der Multiplikator sagt, wie schnell \(V\) wächst oder fällt, wenn \(c\) sich ändert.
Das lässt sich an einem Beispiel nachrechnen. Für \(f(x,y)=x\cdot y\) unter \(x+y=c\) liegt das Maximum bei \(x=y=\frac{c}{2}\), und der größte Wert ist \(V(c)=\frac{c^2}{4}\). Seine Ableitung ist \(V'(c)=\frac{c}{2}\). Mit \(\mathcal{L}=xy+\lambda\,(x+y-c)\) folgt aus \(\mathcal{L}_x=y+\lambda=0\), dass \(\lambda=-y=-\frac{c}{2}\) ist. Der Multiplikator ist also \(-V'(c)\), das Negative der Änderungsrate des Optimalwerts.
Das gilt allgemein, wenn die Lagrange-Funktion die Form \(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\) hat:
\[ V'(c)=-\lambda. \]
Daraus folgt die Näherung für eine kleine Änderung \(\Delta c\) der Konstanten,
\[ \Delta V\approx -\lambda\cdot\Delta c. \]
Wirtschaftlich heißt das: Ein Betrieb maximiert den Gewinn unter einer Kapitalgrenze. Ist \(\lambda=-5\), bringt jeder zusätzliche Euro Kapital etwa 5 Euro mehr Gewinn. Der Betrag \(\lvert\lambda\rvert\) heißt Schattenpreis der Ressource. Er ist der Preis, den der Betrieb für eine zusätzliche Einheit höchstens bezahlen sollte, denn mehr als dieser Preis bringt sie nicht ein. Die Einheit von \(\lambda\) ist Einheit von \(f\) je Einheit von \(c\), hier Euro Gewinn je Euro Kapital.
Beachte das Vorzeichen. In der Schreibweise \(\mathcal{L}=f+\lambda\,(g-c)\), die in diesem Kurs gilt, ist die Änderung \(-\lambda\cdot\Delta c\). Bei einem Maximum mit knapper Ressource ist \(\lambda\) meist negativ, und mehr Ressource erhöht den Wert. Sinkt \(c\), ist \(\Delta c\) negativ, und der Optimalwert fällt.
Die Schätzung ist eine Näherung. Sie benutzt \(\lambda\) bei \(c=10\) für die ganze Änderung. Ändert sich \(c\) stark, ändert sich auch \(\lambda\), und der Fehler wächst. Für kleine Änderungen ist sie gut, und sie braucht keine neue Rechnung, nur die Zahl \(\lambda\) aus der ersten.
Warum die Formel gilt
Am Optimum gilt \(g=c\), also ist \(V(c)=f(x(c),y(c))=\mathcal{L}(x(c),y(c),\lambda(c);c)\). Leitet man nach \(c\) ab, tragen \(\mathcal{L}_x\), \(\mathcal{L}_y\) und \(\mathcal{L}_\lambda\) jeweils null bei, denn sie verschwinden am Optimum. Übrig bleibt die Ableitung von \(\mathcal{L}\) nach der Konstanten \(c\) selbst, und die ist \(-\lambda\), weil \(c\) in \(\lambda\,(g-c)\) mit dem Faktor \(-\lambda\) steht.
Die andere Schreibweise
Viele Bücher schreiben \(\mathcal{L}=f-\lambda\,(g-c)\). Dann ist \(\lambda\) das Negative von unserem \(\lambda\), und die Änderung ist \(+\lambda\cdot\Delta c\). Rechne immer mit der Schreibweise der Aufgabe. Der Schattenpreis \(\lvert\lambda\rvert\) ist in beiden gleich.
Ein Minimum unter Nebenbedingung
Bei einem Minimierungsproblem, etwa den Kosten bei vorgegebener Produktionsmenge, gilt dieselbe Formel. Für \(f=x^2+y^2\) unter \(x+y=c\) ist \(\lambda=-c\), und \(V(c)=\frac{c^2}{2}\) hat die Ableitung \(c\), also \(-\lambda\). Mehr Vorgabe \(c\) kostet mehr, und der Schattenpreis sind die zusätzlichen Kosten je Einheit der Vorgabe.