Nebenbedingung und Lagrange-Ansatz

Das Extremum der Zielfunktion allein hilft nicht, denn der höchste Punkt der Fläche liegt meist nicht auf der erlaubten Linie. Das Bild zeigt es für \(f(x,y)=x\cdot y\) und die Nebenbedingung \(x+2y=12\). Die gebogenen Linien sind Niveaulinien von \(f\): Auf jeder ist \(x\cdot y\) gleich groß. Weiter oben rechts liegen die größeren Werte. Die Gerade schneidet die Linie zu 8 zweimal, also gibt es auf ihr Punkte mit dem Wert 8. Die Linie zu 30 trifft sie nie. Der größte Wert auf der Geraden ist der der Linie, die die Gerade gerade noch berührt: Das ist die Linie zu 18 im Punkt \((6,3)\).

Es gibt zwei Wege. Der erste ist das Einsetzen. Du löst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf, setzt sie in \(f\) ein und erhältst eine Funktion einer Variablen. Die leitest du ab und setzt die Ableitung null, wie in der Extremwertrechnung mit einer Variablen. Der zweite Weg ist der Lagrange-Ansatz. Du bildest die Lagrange-Funktion

\[ \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\,\bigl(g(x,y)-c\bigr) \]

und setzt ihre drei partiellen Ableitungen null:

\[ \begin{aligned} \text{(I)}\quad & \mathcal{L}_x=f_x+\lambda\,g_x=0,\\ \text{(II)}\quad & \mathcal{L}_y=f_y+\lambda\,g_y=0,\\ \text{(III)}\quad & \mathcal{L}_\lambda=g(x,y)-c=0. \end{aligned} \]

Die dritte Gleichung ist die Nebenbedingung selbst, denn die Ableitung nach \(\lambda\) lässt nur \(g-c\) übrig. Das neue \(\lambda\) heißt Lagrange-Multiplikator. Du löst das System für \(x\), \(y\) und \(\lambda\). Wie du es löst, zeigt die nächste Karte.

Welcher Weg ist kürzer? Ist die Nebenbedingung linear, löst du sie nach einer Variablen auf und setzt ein. Das sind ein Umformen, ein Einsetzen und eine Ableitung. Der Lagrange-Ansatz bringt eine dritte Unbekannte \(\lambda\) und ein Gleichungssystem mit. Er lohnt sich erst, wenn sich die Nebenbedingung nicht bequem auflösen lässt, etwa bei \(x^2+y^3=10\), oder wenn du den Multiplikator \(\lambda\) selbst brauchst. Wozu man \(\lambda\) braucht, zeigt die letzte Karte dieser Reihe.

Der Ansatz an einem Beispiel

Für \(f(x,y)=x\cdot y^2\) unter \(2x+y=9\) ist \(g(x,y)=2x+y\) und \(c=9\). Die Lagrange-Funktion ist \(\mathcal{L}=xy^2+\lambda\,(2x+y-9)\). Die Ableitungen sind \(\mathcal{L}_x=y^2+2\lambda\), \(\mathcal{L}_y=2xy+\lambda\) und \(\mathcal{L}_\lambda=2x+y-9\). Das System lautet \(y^2+2\lambda=0\), \(2xy+\lambda=0\) und \(2x+y=9\). Hier ist das Einsetzen kürzer, denn \(y=9-2x\) führt auf \(f(x)=x(9-2x)^2\), eine Funktion einer Variablen.

Warum der Ansatz funktioniert

Am Berührpunkt im Bild haben die Niveaulinie von \(f\) und die Linie \(g=c\) dieselbe Tangente. Der Gradient steht senkrecht auf einer Niveaulinie. Also zeigen \(\operatorname{grad}f\) und \(\operatorname{grad}g\) in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung, und es gibt eine Zahl \(\lambda\) mit \(\operatorname{grad}f=-\lambda\operatorname{grad}g\). Das ist genau \(f_x+\lambda g_x=0\) und \(f_y+\lambda g_y=0\). Die dritte Gleichung hält den Punkt auf der erlaubten Linie. Die Lösungen des Systems sind aber zunächst nur Kandidaten, kein fertiges Maximum oder Minimum: Welche Art von Punkt vorliegt, prüfst du danach (Karte zum Lagrange-Verfahren). Außerdem setzt die Begründung voraus, dass der Gradient von \(g\) am Punkt nicht null ist, sonst gibt es keine Tangente an die Linie \(g=c\).

Nebenbedingung als Ungleichung

Im Betrieb steht oft \(\le\), etwa \(x+2y\le 12\). Dann gehört der ganze Bereich unter der Geraden zu den erlaubten Punkten. Liegt das Optimum am Rand, ist die Ungleichung dort mit Gleichheit erfüllt, und die Gleichung \(g=c\) beschreibt den Fall. Das lineare Programm in der Optimierung behandelt solche Bereiche. In dieser Reihe stehen die Nebenbedingungen als Gleichungen.