Niveaulinie (Höhenlinie)
Voraussetzung: Funktionswert und Definitionsbereich
Bisher hing eine Größe von einer einzigen Größe ab: Die Kosten von der Menge, die Nachfrage vom Preis. In der Praxis hängt oft eine Größe von zwei anderen ab. Der Output eines Betriebs hängt von der Arbeit \(x\) und vom Material \(y\) ab, der Nutzen eines Haushalts von zwei Gütern. Eine Funktion von zwei Veränderlichen \(f(x,y)\) ordnet jedem Paar \((x,y)\) eine Zahl zu. Ihr Graph ist keine Kurve, sondern eine Fläche über der \((x,y)\)-Ebene, und Flächen sind schwer zu zeichnen. Man könnte versuchen, sie trotzdem als eine einzige Kurve zu lesen. Das geht nicht: Zu einem \(x\) gehören viele Werte, einer für jedes \(y\).
Eine Karte löst dieses Problem mit Höhenlinien. Eine Linie verbindet alle Punkte derselben Höhe. Dasselbe tut man bei \(f\). Die Niveaulinie (Höhenlinie) zum Wert \(c\) besteht aus allen Punkten \((x,y)\), an denen \(f(x,y)=c\) gilt. In der Ökonomie heißt sie je nach Funktion Isoquante (gleicher Output) oder Indifferenzkurve (gleicher Nutzen).
Im Bild sind die Niveaulinien von \(f(x,y)=x\cdot y\) zu den Werten \(2\), \(6\) und \(12\) gezeichnet. Auf der Linie zu \(6\) liegen die Punkte \((2,3)\), \((3,2)\) und \((6,1)\), denn überall ist \(x\cdot y=6\). Je höher der Wert, desto weiter außen liegt die Linie. Zwei Niveaulinien zu verschiedenen Werten schneiden sich nie, denn ein Punkt hat nur einen Funktionswert.
Ob ein Punkt auf der Niveaulinie zum Wert \(c\) liegt, prüfst du durch Einsetzen: Du rechnest \(f(x_0,y_0)\) aus und vergleichst mit \(c\). Der Wert \(c\) der Niveaulinie durch einen Punkt ist einfach der Funktionswert dieses Punktes.
Oft will man die Niveaulinie als Funktion \(y(x)\) schreiben, um sie zu zeichnen oder zu vergleichen. Dazu löst du \(f(x,y)=c\) nach \(y\) auf. Du bringst alle Glieder ohne \(y\) auf die rechte Seite, und du teilst durch den ganzen Faktor vor \(y\). Steht \(y\) unter einer Wurzel, quadrierst du zuerst. Für \(f(x,y)=x\cdot y\) und \(c=6\) folgt \(y=\frac{6}{x}\), eine Hyperbel.
Niveaulinien in der Ökonomie
Bei der Produktionsfunktion \(f(x,y)=\sqrt{xy}\) heißen die Niveaulinien Isoquanten: Jede Kombination von Arbeit \(x\) und Material \(y\) auf einer Linie liefert denselben Output. Die Linie fällt, denn bei weniger Arbeit braucht man mehr Material. Bei einer Kostenfunktion \(K(x,y)=p\,x+q\,y\) sind die Niveaulinien Geraden, die Isokostenlinien. Eine Kombination mit minimalen Kosten für einen festen Output liegt dort, wo beide Linien sich berühren.
Cobb-Douglas-Funktion
Die Funktion \(f(x,y)=x^a\,y^b\) mit positiven Zahlen \(a\) und \(b\) heißt Cobb-Douglas-Funktion. Ihre Niveaulinie zum Wert \(c\) hat die Gleichung \(x^a y^b=c\), aufgelöst \(y=\left(\frac{c}{x^a}\right)^{1/b}\). Für \(a=b=1\) ist es \(y=\frac{c}{x}\), die Hyperbel aus dem Bild.
Dichte der Linien
Liegen die Niveaulinien zu gleichen Wertabständen dicht beieinander, ändert sich \(f\) dort schnell: Die Fläche ist steil. Liegen sie weit auseinander, ist die Fläche flach. Die Steilheit in einer Richtung misst die partielle Ableitung, die auf der nächsten Karte folgt.