Partielle Ableitung
Voraussetzung: Ableitungsregeln
Bei einer Funktion einer Veränderlichen sagt die Ableitung, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn \(x\) um eine Einheit wächst. Bei \(f(x,y)\) gibt es zwei Eingangsgrößen, und die erste Frage ist: In welche Richtung? Der Umsatz eines Betriebs kann mit mehr Angestellten oder mit längerer Arbeitszeit wachsen, und beide Änderungen wirken verschieden. Man könnte versuchen, nur eine einzige Steigung anzugeben. Das ist falsch: Auf einer Fläche hat jeder Punkt in jeder Richtung eine andere Steigung.
Man wählt deshalb zwei besondere Richtungen. Hältst du \(y\) fest und lässt nur \(x\) wachsen, entsteht eine Funktion einer Veränderlichen in \(x\), und die kennst du abzuleiten. Das Ergebnis heißt partielle Ableitung nach \(x\), geschrieben \(f_x(x,y)\) oder \(\frac{\partial f}{\partial x}\). Hältst du \(x\) fest, entsteht die partielle Ableitung nach \(y\), \(f_y(x,y)\). Beide sind Grenzwerte von Differenzenquotienten, wie in der Reihe zum Ableiten: \(f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\).
Die Regel ist einfach: Um nach \(x\) abzuleiten, behandelst du \(y\) wie eine Zahl und leitest mit den bekannten Regeln ab, also mit Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Um nach \(y\) abzuleiten, behandelst du \(x\) wie eine Zahl. Ein Glied, in dem die abgeleitete Variable nicht vorkommt, ist eine Konstante, und seine Ableitung ist \(0\).
Die Deutung ist dieselbe wie bei einer Variablen. Die Zahl \(f_x(x_0,y_0)\) ist die Steigung der Fläche in \(x\)-Richtung. Geht man vom Punkt \((x_0,y_0)\) eine Einheit in \(x\)-Richtung, ändert sich \(f\) näherungsweise um \(f_x(x_0,y_0)\). Entsprechend für \(f_y\) in \(y\)-Richtung.
Beide Ableitungen zusammen heißen Gradient, ein Vektor aus den beiden Zahlen. Man schreibt ihn \(\operatorname{grad}f=(f_x,\,f_y)\). Er fasst die Steigungen in beiden Richtungen zusammen und wird bei den Extremwerten gebraucht.
Kettenregel mit zwei Variablen, \(f(x,y)=e^{2x+y^2}\)
Die äußere Funktion ist \(e^t\), die innere ist \(2x+y^2\). Für \(f_x\) ist die innere Ableitung nach \(x\) gleich \(2\), das Glied \(y^2\) fällt weg. Also ist \(f_x=2e^{2x+y^2}\). Für \(f_y\) ist die innere Ableitung nach \(y\) gleich \(2y\), und \(f_y=2y\,e^{2x+y^2}\). Die innere Ableitung hängt von der Richtung ab.
Produktregel, \(f(x,y)=x\cdot e^{y}\)
Für \(f_x\) ist \(e^y\) ein konstanter Faktor, also \(f_x=e^y\). Für \(f_y\) ist \(x\) ein konstanter Faktor, und \(f_y=x\,e^y\). Hier genügt die Faktorregel, denn in jeder Richtung steht nur ein Faktor mit der abgeleiteten Variable. Stehen beide Variablen in einem Faktor, wie bei \(e^{xy}\), brauchst du die Kettenregel.
Definition über den Grenzwert
Die Gleichung \(f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\) ist die Definition. Für \(f(x,y)=x^2+y^2\) ist der Zähler \((x_0+h)^2+y_0^2-x_0^2-y_0^2=2x_0h+h^2\), geteilt durch \(h\) und mit \(h\to 0\) bleibt \(2x_0\). Das Ergebnis ist dasselbe wie das Festhalten von \(y\): Das Glied \(y_0^2\) hebt sich weg.